חקירת פונקציה — קיצון ומונוטוניות

משמעות הנגזרת הראשונה

חשוב

השוואה לאפס של הנגזרת הראשונה לא אומרת בהכרח קיצון — ייתכן פיתול אופקי.

גזור, הוצא גורם משותף, השווה לאפס.

דוגמה:

\[f(x)=x^4-4x^3+32\]

\[f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)=0\]

\[x=0,\; x=3\]

אזור	\(x<0\)	\(0\)	\(0<x<3\)	\(3\)	\(x>3\)
סימן הנגזרת	\(-\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
כיוון	ירידה	—	ירידה	—	עלייה
סוג נקודה	—	פיתול	—	מינימום	—

{: .sign-table}

נציגים בנגזרת הראשונה:

\[x=-1 \Rightarrow -16 \qquad x=1 \Rightarrow -8 \qquad x=4 \Rightarrow 64\]

\[f(3)=3^4-4\cdot 3^3+32=5 \qquad (3,5)_{\min}\]

	תחום
עלייה	\(x>3\)
ירידה	\(x<3\)

שילוב מומלץ במבחן: נגזרת שנייה לסיווג מהיר, וטבלה קטנה לחצים.

דוגמה — נגזרת שנייה:

\[f''(x)=12x^2-24x\]

\[f''(3)=36>0\]

← מינימום

\[f''(0)=0\]

← לא מספיק; הטבלה קובעת פיתול אופקי