חקירת פונקציה — קיצון ומונוטוניות

משמעות \(f'(x)\)

\(f'(x)\)	גאומטריה
\(>0\)	עלייה \(\nearrow\) — שיפוע חיובי
\(<0\)	ירידה \(\searrow\) — שיפוע שלילי
\(=0\)	משיק אופקי — נקודה חשודה (לא בהכרח קיצון)

גזור, הוצא גורם משותף מקסימלי, פתור.

דוגמה: \(f(x)=x^4-4x^3+32\)

\[f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)=0 \Rightarrow x=0,\; x=3\]

\(x\)	\(x<0\)	\(0\)	\(0<x<3\)	\(3\)	\(x>3\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\searrow\)	פיתול	\(\searrow\)	Min	\(\nearrow\)

נציגים ב-\(f'(x)\): \(x=-1\to -16\); \(x=1\to -8\); \(x=4\to 64\).

מעבר	סוג
\(\nearrow\bullet\searrow\)	מקסימום
\(\searrow\bullet\nearrow\)	מינימום
\(\nearrow\bullet\nearrow\) / \(\searrow\bullet\searrow\)	פיתול אופקי

בדוגמה: \(x=0\) — פיתול; \(x=3\) — Min.

\[f(3)=3^4-4\cdot 3^3+32=5 \Rightarrow (3,5)_{Min}\]

כלי	תפקיד	מגבלה
\(f''(x_0)\)	סיווג קיצון: \(f''>0\to\) Min, \(f''<0\to\) Max	לא נותן תחומי עלייה/ירידה
טבלת \(f'(x)\)	עלייה, ירידה, פיתול	הכלי המלא

שילוב מומלץ: \(f''\) לסיווג מהיר + טבלה קטנה לחצים.

פיתול אופקי: \(f''(x_0)=0\) — המבחן לא מכריע. חובה טבלת \(f'\).

דוגמה: \(f''(x)=12x^2-24x\), \(f''(3)=36>0\) → Min. \(f''(0)=0\) → לא מספיק; הטבלה קובעת פיתול.