נגזרות — חוקים ואלגוריתם

עקרון: אלגברה קודם

לפני גזירה — פשט, העבר מכנה לחזקה שלילית, פתח מכפלה של 3 איברים ל-2.

\[x^n\cdot x^m=x^{n+m}\qquad \frac{1}{x^n}=x^{-n}\qquad \sqrt[m]{x^n}=x^{n/m}\]

\[f(x)=c\cdot x^n \Rightarrow f'(x)=c\cdot n\cdot x^{n-1}\]

\[f(x)=c\cdot[g(x)]^n \Rightarrow f'(x)=c\cdot n\cdot[g(x)]^{n-1}\cdot g'(x)\]

דוגמה: \(f(x)=\frac{(5-x)^3}{4}=\frac{1}{4}(5-x)^3\)

\[f'(x)=\frac{1}{4}\cdot 3(5-x)^2\cdot(-1)=-\frac{3}{4}(5-x)^2\]

\[\left(\frac{c}{g(x)}\right)'=\frac{-c\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}\]

דוגמה: \(f(x)=\frac{2}{3-x}\)

\[f'(x)=\frac{-2\cdot(-1)}{(3-x)^2}=\frac{2}{(3-x)^2}\]

\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

\[(u\cdot v)'=u'v+uv'\]

3 איברים: \(x(x-2)(3x-4)\) → \((x^2-2x)(3x-4)\) → גזירה כמכפלה.

כשגם \(u\) וגם \(v\) מורכבים — הפעל שרשרת ב-\(u'\) וב-\(v'\) לפני הצבה ב-\((uv)'\).

לאחר גזירת מכפלה — חלץ את החזקה המינימלית מכל גורם.

דוגמה: \(f(x)=x^3(6-x)^4\)

\[f'(x)=3x^2(6-x)^4-4x^3(6-x)^3=x^2(6-x)^3\big[3(6-x)-4x\big]=x^2(6-x)^3(18-7x)\]

השוואה ל-\(0\): \(x=0\), \(x=6\), \(x=\frac{18}{7}\).

\[m=f'(x_0)\qquad m=\tan(\alpha)\qquad y-y_1=m(x-x_1)\]

השקה: \(f(x_0)=g(x_0)\) וגם \(f'(x_0)=g'(x_0)\).