נגזרות — חוקים ואלגוריתם
לפני שמתחילים
עקרון מרכזי: אלגברה קודם, גזירה אחר כך.
- פשט ביטויים
- העבר מכנה לחזקה שלילית
- פתח מכפלה של 3 איברים ל-2 איברים
חוקי אלגברה בסיסיים
\[x^n\cdot x^m=x^{n+m}\]
\[\frac{1}{x^n}=x^{-n}\]
\[\sqrt[m]{x^n}=x^{n/m}\]
מוקש — כפל חזקות
\[x^4\cdot x=x^5\]
לא נכון:
\[x^4\cdot x=x^4\]
1. פולינום בסיסי
\[f(x)=c\cdot x^n \Rightarrow f'(x)=c\cdot n\cdot x^{n-1}\]
2. Chain Rule (פונקציה מורכבת)
\[f(x)=c\cdot\left[g(x)\right]^n \Rightarrow f'(x)=c\cdot n\cdot\left[g(x)\right]^{n-1}\cdot g'(x)\]
דוגמה
\[f(x)=\frac{(5-x)^3}{4}=\frac{1}{4}(5-x)^3\]
\[f'(x)=\frac{1}{4}\cdot 3(5-x)^2\cdot(-1)=-\frac{3}{4}(5-x)^2\]
מוקש — נגזרת פנימית
\[\frac{d}{dx}(5-x)=-1\]
אל תשכח את המינוס בנגזרת הפנימית.
3. מנה — מונה קבוע (קיצור)
\[\left(\frac{c}{g(x)}\right)'=\frac{-c\cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2}\]
דוגמה
\[f(x)=\frac{2}{3-x}\]
\[f'(x)=\frac{-2\cdot(-1)}{(3-x)^2}=\frac{2}{(3-x)^2}\]
4. מנה — מונה משתנה (מלא)
\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]
5. Product Rule
\[(u\cdot v)'=u'v+uv'\]
3 איברים — פתח ל-2 לפני גזירה:
\[x(x-2)(3x-4) \;\Rightarrow\; (x^2-2x)(3x-4)\]
6. Double Chain Rule
כשגם u וגם v מורכבים — הפעל שרשרת בכל אחד לפני הצבה במכפלה.
7. הוצאת גורם משותף מקסימלי
לאחר גזירת מכפלה — חלץ את החזקה המינימלית מכל גורם.
דוגמה
\[f(x)=x^3(6-x)^4\]
\[f'(x)=3x^2(6-x)^4-4x^3(6-x)^3=x^2(6-x)^3(18-7x)\]
השוואה לאפס:
\[x=0 \qquad x=6 \qquad x=\frac{18}{7}\]
8. משיק ושיפוע
\[m=f'(x_0) \qquad m=\tan(\alpha) \qquad y-y_1=m(x-x_1)\]
השקה — שני תנאים בו-זמנית:
\[f(x_0)=g(x_0) \qquad f'(x_0)=g'(x_0)\]